商群とは？
しょうぐん
商群とは、群の正規部分群で割ることで得られる新しい群であり、元の群の構造を簡約化して見る代数的な構成法のことです。
商群（quotient group）とは、群 G とその正規部分群 N があるとき、N の各剰余類（左剰余類と右剰余類が一致する）を一つの元として扱うことで得られる新しい群 G/N のことです。「G を N で割った群」とも表現されます。
剰余類の集合 G/N に、剰余類どうしの積を (aN)(bN) = (ab)N と定義したとき、この演算が矛盾なく定まるための条件がまさに N の正規性（gNg⁻¹ = N がすべての g∈G で成り立つこと）です。商群の位数（元の個数）はラグランジュの定理により |G| / |N| に等しくなります。
商群の直感的な意味は「N の元を全て同じものとみなして G を見る」ことです。細部の違いを無視し、粗い構造だけを取り出す操作に相当します。
- 整数群 ℤ を n倍数の部分群 nℤ で割ると、整数の mod n の剰余類群 ℤ/nℤ が得られる
- 群の準同型定理：G から H への準同型写像の像は G/Ker と同型
- ガロア理論では正規部分群と正規拡大が対応する
商群の概念は群論の中心的道具であり、代数学全般に渡って用いられます。加群における商加群、環における商環など、類似の構成が代数のあらゆる構造に存在します。
使い方・例文
時計の時刻のように「12時間後は同じ時刻に戻る」という構造は、整数を12の倍数で割った商群 ℤ/12ℤ として代数的に表現される典型例です。
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