局所環とは？
きょくしょかん
局所環とは、極大イデアルがただ一つだけ存在する可換環のことで、代数幾何学や数論において局所的な性質を調べる際に基本となる構造です。
局所環（local ring）とは、可換環の中でも極大イデアル（maximal ideal）がただ一つしか存在しない環を指します。このような環では、可逆元でない元がすべてその唯一の極大イデアルに含まれるという特徴があります。
局所環の同値な定義として、「可逆元でない元全体の集合がイデアルをなす環」とも述べられます。これは、可逆元でない元の和も可逆でない（つまり非可逆元が閉じている）ことを意味します。
局所環の代表的な例を挙げます。
- p 進整数環 Zₚ：p 進数の整数部分で、素数 p で割り切れる数全体が唯一の極大イデアル
- 形式的べき級数環 k[[x]]：体 k 上の形式的べき級数の全体で、定数項が0のものが極大イデアル
- 正則局所環：代数幾何学における滑らかな点の局所環
- 局所化 R_𝔭：可換環 R を素イデアル 𝔭 で局所化したもの
局所環の理論は代数幾何学において、幾何学的空間の一点における「局所的な性質（特異点・接空間・次元）」を代数的に記述する道具として不可欠です。また数論でも p 進数の文脈で素数ごとの局所的性質を調べる際に中心的な役割を果たします。
使い方・例文
局所環は代数幾何学・数論・可換代数の理論的文脈で登場します。「代数多様体の点における局所環が正則局所環であれば、その点は滑らかな点（非特異点）である」「素数 p に関する局所環 Z(p) を用いてアーベル群の p 局所化を考える」などと使います。
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