群の作用とは？
ぐんのさよう
群が集合や空間に「変換」として働きかける数学的な構造で、対称性を記述する基本概念です。
群の作用とは、群Gと集合Xのあいだに定義された対応であり、群の各元をXの元を別のXの元に送る変換として解釈する仕組みです。正確には、写像G×X→Xが単位元の作用が恒等変換になること、および群の演算と作用が整合することを満たすとき、これを「GがXに作用する」といいます。
群の作用の概念は、対称性を数学的に厳密に捉えるために導入されました。たとえば、正三角形の回転と反転の全体は3次対称群S_3をなし、この群が三角形の頂点の集合に自然に作用します。頂点を置換する操作こそが「作用」の典型例です。
作用の分析には軌道（同じ軌跡をたどる元の集まり）と固定点（作用によって動かない元）が重要で、軌道・固定点定理（バーンサイドの補題）は対称性を持つ対象の数え方に応用されます。また、群の作用を通じて群を行列群として表すのが表現論の出発点になっています。
物理学では、空間の対称変換（回転・並進・鏡映など）を群の作用として記述し、素粒子物理における標準模型のゲージ対称性もこの枠組みで理解されます。群の作用は、代数学・幾何学・物理学を横断する統一的な道具です。
使い方・例文
正六面体（サイコロ）の回転対称性を調べるとき、回転群がサイコロの頂点・辺・面の集合に作用する様子を群の作用として解析します。
この用語をシェア
最終更新: