写像とは？
しゃぞう
写像とは、集合の各要素を別の集合のただ一つの要素に対応させる規則のことで、関数の一般化概念です。
写像（しゃぞう、mapping）とは、集合Aの各要素に対して集合Bのただ一つの要素を対応させる規則のことです。Aを定義域（domain）、Bを終域（codomain）と呼び、「f: A→B」と表記します。aに対応するBの要素をf(a)と書き、「aの像（image）」といいます。
写像の重要な性質として、定義域のすべての要素に対して対応先が定まっており（全域性）、かつ一つの要素に対する対応先はただ一つであること（一意性）が必須条件です。
写像にはいくつかの重要な種類があります。
- 単射（1対1写像）：異なる要素は異なる像を持つ（f(a₁)=f(a₂)ならa₁=a₂）
- 全射（上への写像）：終域のすべての要素が少なくとも1つの像の元を持つ
- 全単射（双射）：単射かつ全射で、逆写像が存在する
写像は集合論・代数学・位相空間論など数学全般の基本的な言語として用いられます。数値を扱う写像は「関数」とも呼ばれ、中学・高校数学で学ぶ関数はこの写像の特殊ケースです。群論では群の構造を保つ写像を「準同型写像」と呼ぶなど、各分野で特別な種類の写像が研究されています。
使い方・例文
「各学生に出席番号を割り振る」という対応は写像の例です。各学生（定義域の要素）に対してただ一つの番号（終域の要素）が対応します。また、f(x)=x²という関数も実数から実数への写像です。
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