全単射とは？
ぜんたんしゃ
全単射とは、単射かつ全射である写像のことで、2つの集合の要素が過不足なく一対一に対応することを意味します。
全単射（ぜんたんしゃ、bijection、one-to-one correspondence）とは、集合AからBへの写像fが単射（異なる元は異なる像を持つ）かつ全射（Bのすべての元が何らかの元の像になっている）の両方を満たすものをいいます。「双射」とも呼ばれます。
全単射が存在するとき、集合AとBの要素は「完全に一対一に対応」しており、同じ「大きさ」（濃度）を持つといえます。有限集合の場合は要素数が等しいことと同値であり、無限集合の場合は濃度（カーディナリティ）が等しいことの定義として用いられます。
全単射の重要な性質として、逆写像の存在があります。fが全単射ならば、逆写像 f⁻¹: B → A が一意に定まります。
全単射の例と非例を示します。
- f: {1,2,3} → {a,b,c}、f(1)=a、f(2)=b、f(3)=c は全単射
- f: ℝ → ℝ、f(x) = x³ は全単射（単射かつ全射）
- f: ℝ → ℝ、f(x) = x² は全単射でない（単射でも全射でもない）
全単射は数学全般で中心的な役割を果たし、集合の濃度の比較・群の同型・暗号理論における置換など、多くの場面で活用されます。
使い方・例文
「自然数全体と整数全体の間には全単射が存在する（したがって同じ濃度を持つ）」のように、無限集合の大きさを比較する際に用いられます。
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