変分法とは？
へんぶんほう
変分法とは、関数を変数とする汎関数の最大値・最小値・停留値を求める数学の手法で、力学・光学・最適制御など広く応用されます。
変分法とは、通常の微積分が数値（スカラー）を変数とする関数を扱うのに対し、「関数そのもの」を変数として、それに対して定まる「汎関数」（関数から実数値を返す写像）の極値・停留値を求める数学の分野です。18世紀にオイラーとラグランジュによって体系化されました。
変分法の中心的な道具は、汎関数の停留条件から導かれるオイラー・ラグランジュ方程式です。汎関数の変分（関数の微小変化に対する汎関数の変化量）がゼロになる条件を求めることで、この偏微分方程式が得られます。
変分法が応用される主な分野は次の通りです。
- 古典力学：最小作用の原理を介した運動方程式の導出
- 光学：フェルマーの原理による光線経路の決定
- 微分幾何学：測地線（曲面上の最短経路）の求解
- 最適制御理論：燃料消費最小化などの工学問題
- 量子力学：変分原理による近似解法（ハートリー・フォック法等）
変分法の問題として歴史的に有名なのはブラキストクロン問題（最短降下曲線問題）で、ベルヌーイが17世紀に提起し、オイラー・ラグランジュの解法によってサイクロイドが答えであることが示されました。現代では変分原理が物理法則の出発点として機能しており、理論の統一的な記述に不可欠な手法です。
使い方・例文
宇宙探査機の軌道を設計する際、燃料消費を最小にしながら目標に到達するための経路を変分法に基づく最適制御理論で求めます。
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