汎関数とは？
はんかんすう
汎関数とは、関数を入力として受け取り、実数などのスカラー値を出力する対応規則であり、関数の関数とも呼ばれます。
汎関数（はんかんすう、Functional）とは、通常の関数が数値を入力として数値を返すのに対し、関数そのものを入力として受け取り、スカラー値（実数など）を出力する対応規則のことです。数学・物理・工学の多くの分野で中心的な役割を果たす概念です。
数学的には、ある関数空間（例えば連続関数全体の集合）から実数への写像として定義されます。記法としては J[f] や F[f] のように、角括弧を用いてその入力が関数であることを示すことが多いです。
汎関数の代表的な例として積分形汎関数があります。例えば曲線 y=f(x) の弧長を求める式は、関数 f を入力として弧長という数値を返す汎関数です。変分法では「汎関数を最小（または最大）にする関数を求める」という問題を扱い、物理学におけるオイラー-ラグランジュ方程式の導出に応用されます。
汎関数の概念は以下のような分野で活躍します。
- 変分法・解析力学：作用汎関数の最小化から運動方程式を導く
- 量子場理論：経路積分の定式化
- 最適制御理論：コスト関数の最小化
- 機械学習：損失関数を関数空間上で最適化するカーネル法など
汎関数の微分（変分微分）も定義でき、通常の関数の微分に対応する操作として、関数解析の中核をなしています。
使い方・例文
物理学の最小作用の原理では、粒子の運動経路を決める際に「作用」という汎関数を最小にする経路が実際の軌道になるという形で汎関数が登場します。
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