オイラー・ラグランジュ方程式とは？
おいらー・らぐらんじゅほうていしき
オイラー・ラグランジュ方程式とは、変分法において汎関数を停留させる関数が満たすべき微分方程式で、力学・場の理論など物理学全般の基礎となります。
オイラー・ラグランジュ方程式とは、変分法の中心的な結果のひとつで、「積分形式で表された汎関数を最小（または停留）にする関数は何か」という問いに答える微分方程式です。レオンハルト・オイラーとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって独立に導かれました。
汎関数 J ＝ ∫L(q, dq/dt, t)dt を停留させる関数 q(t) は、「∂L/∂q ─ d/dt(∂L/∂(dq/dt)) ＝ 0」というオイラー・ラグランジュ方程式を満たします。L はラグランジアンまたは被積分関数と呼ばれます。
この方程式が登場する主な分野は以下の通りです。
- 古典力学：ラグランジュの運動方程式そのもの
- 光学：フェルマーの原理（光の最速経路）
- 場の量子論：場の運動方程式の導出
- 一般相対性理論：測地線方程式の導出
- 最適制御理論・変分問題の数値解法
最小作用の原理（ハミルトンの原理）を変分法で処理した結果がオイラー・ラグランジュ方程式であり、ニュートン力学・電磁気学・相対性理論・量子場理論を統一的な枠組みで記述する礎となっています。ノーターの定理との組み合わせにより、対称性と保存則の関係も明確に議論できます。
使い方・例文
最短降下曲線（ブラキストクロン）を求める問題は、オイラー・ラグランジュ方程式を解くことで解析でき、変分法の教科書的な例題として登場します。
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