分配関数とは？
ぶんぱいかんすう
分配関数とは、統計力学において系のすべての状態を温度ごとにまとめた量で、熱力学的性質を導くための中心的な数学的道具です。
分配関数（partition function）は、統計力学における最も重要な概念のひとつで、系がとり得る全微視的状態を温度の関数として一つの量にまとめたものです。記号Zで表されることが多く、カノニカル集団（温度が一定の系）では Z＝Σ exp(－βE_i) と定義されます（βは逆温度 1/k_BT、E_iは各エネルギー状態、k_Bはボルツマン定数）。
分配関数の名前の由来は、各状態にどれだけの「重み」が分配されるかを表す点にあります。分母として機能し、各状態の占有確率はこのZで規格化されます（ボルツマン分布）。
分配関数の重要性は、ここから多くの熱力学量を導出できる点にあります。
- 自由エネルギー（ヘルムホルツ自由エネルギー）：F＝－k_BT ln Z
- 内部エネルギー：U＝－∂(ln Z)/∂β
- エントロピー：S＝k_B(ln Z ＋ βU)
- 熱容量：C_V＝∂U/∂T
また、粒子数が変動する系（グランドカノニカル集団）では大分配関数、量子力学では行列のトレースを使った定式化に拡張されます。固体物理、化学熱力学、量子場理論に至るまで幅広く応用される、理論物理学・化学の根幹をなす概念です。
使い方・例文
気体分子の比熱を理論的に計算する際、分子のエネルギー準位（並進・回転・振動）をもとに分配関数を求め、そこから内部エネルギーを微分することで比熱を導出します。物理・化学の講義で頻繁に登場します。
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