中間値の定理とは？
ちゅうかんちのていり
「定理」の用語まとめを見る中間値の定理とは、連続な関数が区間の両端で異なる値をとるとき、その間のすべての値を必ず通るという数学の定理です。
中間値の定理（Intermediate Value Theorem, IVT）とは、関数 f が閉区間 [a, b] 上で連続であり、f(a) と f(b) の値が異なる場合、f(a) と f(b) の間にある任意の値 k に対して f(c) = k を満たす点 c が区間 (a, b) の中に少なくとも一つ存在するという定理です。
特によく使われる系として「f(a) と f(b) の符号が異なるとき、f(c) = 0 となる c が少なくとも一つ存在する」というものがあります。これは方程式の実数解の存在を証明する際に直接的に活用されます。
この定理が成り立つ背景には、実数の「完備性」（連続性）があります。有理数だけの世界では成り立たない場合があるため、実数の公理に基づく証明が必要です。
中間値の定理の応用例として以下があります。
- 方程式 x³ − x − 1 = 0 が実数解を持つことの証明。
- 二分法（数値解析）による方程式の近似解の算出。
- 経済学や物理学における連続変化する量に関する存在証明。
直感的には「グラフが連続につながっている曲線であれば、その曲線は高さ k の水平線を必ず横切る」というイメージで理解できます。高校数学から大学数学にかけて登場する基本的かつ重要な定理です。
使い方・例文
「朝の気温が5℃で、昼の気温が20℃だったなら、その間のどこかで必ず気温が10℃になった瞬間がある」という日常的な事実は、中間値の定理の直感的な説明です。
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