微積分学の基本定理とは？
びせきぶんがくのきほんていり
「定理」の用語まとめを見る微積分学の基本定理とは、微分と積分が互いに逆の演算であることを示す、数学の根幹をなす定理です。
微積分学の基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）は、微分と積分という一見異なる二つの操作が本質的に逆の関係にあることを明らかにした定理です。17世紀にニュートンとライプニッツがそれぞれ独立に発見・整理したとされ、現代解析学の礎となっています。
定理は大きく二つの部分から構成されます。
- 第一部（微積分の基本定理・前半）：連続関数 f に対して、その積分を上端を変数とした関数 F(x) を定義すると、F は微分可能であり、その導関数は元の f(x) に等しい。つまり積分して微分すると元に戻る。
- 第二部（微積分の基本定理・後半）：f の不定積分（原始関数）が求まれば、定積分は原始関数の両端での値の差として計算できる。これにより面積などの計算が代数的に行えるようになる。
この定理が画期的だった理由は、積分をリーマン和（細かく区切った面積の総和）として求める無限の極限計算を、微分（導関数）を逆算するだけの代数的操作に帰着させた点にあります。
物理学・工学・経済学など、現実現象を数式で記述するあらゆる分野で不可欠な基盤となっており、「数学史上最も重要な定理の一つ」と評されます。
使い方・例文
速度を時間で積分すると移動距離が求まり、移動距離を時間で微分すると速度に戻ることは、微積分学の基本定理を物理的に体感できる典型例です。
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