証明とは？
しょうめい
証明とは、数学において、公理や定義・既知の定理を論理的な推論によって積み重ね、ある命題が真であることを示す手続きです。
証明とは、数学においてある命題（文）が正しいことを、公理・定義・すでに証明された定理を出発点として、論理規則に従った推論の連鎖によって示す手続きです。直感や経験則とは異なり、反例が1つでも存在すれば命題は偽となるため、証明には厳密さが求められます。
証明の主な手法には以下のものがあります。
- 直接証明：仮定から出発して結論を直接導く最も基本的な方法
- 背理法（帰謬法）：結論の否定を仮定し、矛盾を導くことで元の命題を証明する
- 数学的帰納法：n＝1のとき成立することを示し、n＝kで成立するならn＝k+1でも成立することを示すことで、すべての自然数について証明する
- 対偶証明：「AならばB」と「BでないならばAでない」が同値であることを利用する
歴史的に有名な証明としては、ユークリッドによる「素数が無限に存在すること」の背理法による証明（紀元前3世紀頃）があります。また、360年以上解かれなかったフェルマーの最終定理が1995年にアンドリュー・ワイルズによって証明されたことも広く知られています。
証明を学ぶことは、論理的思考力・批判的思考を養い、数学を「計算する学問」から「真実を確かめる学問」として深く理解するうえで欠かせないプロセスです。
使い方・例文
「√2が無理数であること」を背理法で示す手順や、「三角形の内角の和が180度であること」を幾何学的に示す手順などが、学校数学における証明の代表例です。
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