トレミーの定理とは？
とれみーのていり
「定理」の用語まとめを見る円に内接する四角形において、対角線の積が2組の対辺の積の和に等しいという関係を示す定理です。
トレミーの定理とは、円に内接する四角形（円内接四辺形）において、2本の対角線の長さの積が、2組の対辺それぞれの積の和に等しいことを示した定理です。古代ギリシャ・ローマ時代の数学者・天文学者クラウディオス・プトレマイオス（トレミー）が著書『アルマゲスト』の中で示しました。
円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線AC・BDの長さをそれぞれ p, q、対辺AB・CD の長さを a, c、もう一組の対辺AD・BCの長さを b, d とすると、次の等式が成り立ちます。
p × q = a × c + b × d
また、円内接四辺形でない場合には p × q ≤ a × c + b × d（トレミーの不等式）が成立します。
トレミーの定理の応用として特に重要なのは三角関数への展開です。
- 正弦の加法定理（sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ）をトレミーの定理から導出できる
- コサインの加法定理の証明にも活用される
- 天文学における弦の計算に歴史的に使用された
証明には相似な三角形を利用する古典的な方法のほか、逆角の定理や複素数平面を用いる方法があります。古代から現代の数学教育に至るまで、幾何学の美しい定理のひとつとして位置付けられています。
使い方・例文
「正方形が円に内接するとき、トレミーの定理を適用すると対角線の積が対辺の積の2倍になることが確認できる」という問題演習で登場します。
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