留数定理とは？
りゅうすうていり
「定理」の用語まとめを見る留数定理とは、複素関数の孤立特異点における「留数」の和を使って、複素積分の値を計算できる複素解析の基本定理です。
留数定理（residue theorem）は複素解析の最重要定理のひとつで、正則関数が孤立特異点を持つ場合の複素積分を、各特異点での「留数（residue）」を用いて求める方法を提供します。
正式には、単純閉曲線 C の内部に有限個の孤立特異点 z₁, z₂, …, zₙ を持つ有理型関数 f(z) について、次が成立します。∮_C f(z) dz = 2πi × Σ Res(f, zₖ)。ここで Res(f, zₖ) は点 zₖ における留数で、f のローラン展開の (z − zₖ)⁻¹ の係数として定義されます。
留数の求め方には次のような方法があります。
- 1 位の極では：Res(f, z₀) = lim(z→z₀) (z − z₀)f(z)
- m 位の極では：微分を用いた公式
- 真性特異点ではローラン展開を直接計算
留数定理の応用は非常に広く、実数の広義積分の計算（部分的に複素平面を迂回させる方法）、フーリエ変換・ラプラス変換の逆変換、物理学における散乱振幅計算、数論的な和の評価などに活用されます。一見困難に見える実積分が留数定理を使うと驚くほど簡単に求まる場合があり、解析学・物理学の強力な道具となっています。
使い方・例文
∫₋∞^∞ 1/(1+x²) dx のような実積分を留数定理で解く際、上半複素平面を迂回する半円路を設定し、特異点 z = i における留数 1/(2i) を計算して 2πi × (1/2i) = π という答えを得ます。
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