正則関数とは？
せいそくかんすう
正則関数とは、複素数の範囲で微分可能な性質を持つ関数のことで、複素解析の中心的な研究対象です。
正則関数（せいそくかんすう、英: holomorphic function）とは、複素平面上のある領域において複素微分可能な関数のことです。実数の微分とは異なり、複素数の微分可能性は非常に強い条件であり、一点で複素微分可能であっても、その点の近傍で無限回微分可能であることが保証されます。
正則関数が満たす最も基本的な条件がコーシー・リーマン方程式です。複素関数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) が正則であるためには、実部 u と虚部 v が偏微分方程式 ∂u/∂x = ∂v/∂y、∂u/∂y = -∂v/∂x を満たす必要があります。
正則関数の主な性質として以下が挙げられます。
- 定義域内で無限回複素微分可能である（解析的であることと同値）
- 冪級数展開（テイラー展開）が可能である
- 最大値原理：絶対値の最大値は境界上で達成される
- コーシーの積分定理・積分公式が適用できる
正則関数の概念は、流体力学での非圧縮流れの解析、電磁気学のポテンシャル計算、信号処理など幅広い応用分野を持ちます。正則でない点（特異点）の研究もまた、複素解析において重要なテーマです。
使い方・例文
例えば f(z) = z² や f(z) = eᶻ は複素平面全体で正則な関数です。一方、共役複素数を返す f(z) = z̄ はコーシー・リーマン方程式を満たさず、正則ではありません。
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