コーシー・リーマン方程式とは？
こーしーりーまんほうていしき
コーシー・リーマン方程式とは、複素関数が正則（複素微分可能）であるための必要十分条件を表す偏微分方程式です。
コーシー・リーマン方程式（Cauchy-Riemann equations）は、複素関数論の基礎をなす方程式で、19世紀の数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーとベルンハルト・リーマンの業績にちなんで名付けられました。
複素関数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)（z = x + iy、u と v はそれぞれ実部・虚部）が点 z で正則（複素微分可能）であるための必要十分条件は、次の2つの偏微分方程式が成り立つことです。
∂u/∂x = ∂v/∂y かつ ∂u/∂y = −∂v/∂x
これがコーシー・リーマン方程式です。直感的には「複素数の方向によらず微分値が一致する」ことを保証する条件です。
この方程式が成り立つ関数（正則関数）は非常に豊かな性質を持ちます。
- 実部・虚部がともに調和関数（ラプラス方程式を満たす）になる
- 無限回微分可能でテイラー展開が収束する
- 等角写像（角度を保つ変換）を実現する
流体力学・電磁気学・信号処理など、実分野の問題を複素解析で解く際にもコーシー・リーマン方程式は基礎として用いられます。
使い方・例文
大学の複素解析の講義や理工系の教科書で「関数の正則性を確認するためコーシー・リーマン方程式を満たすか検証する」という形で登場します。
この用語をシェア
最終更新: