コホモロジーとは？
こほもろじー
空間の穴や形状を代数的に捉えるホモロジーの「双対版」で、微分形式や関数の視点から空間を調べます。
コホモロジー（cohomology）とは、位相空間や多様体の形状・構造を代数的に記述するための道具で、ホモロジー群の双対版として定義されます。ホモロジーが「サイクル（境界のない部分）を境界で割った商」として穴を測るのに対し、コホモロジーは「余サイクル（あるコチェインのコバウンダリーで閉じたもの）を余境界で割った商」として同様の情報を「双対的」に捉えます。
最も直感的な例はド・ラームコホモロジーで、滑らかな多様体上の微分形式を使ってコホモロジー群を構成します。「閉形式（d ω=0）の中で、完全形式（ω=dη）でないものの同値類」がコホモロジー類であり、ストークスの定理とのつながりによって積分理論と深く結びついています。
コホモロジーにはカップ積という積構造があり、ホモロジーにはない環の構造（コホモロジー環）が定義できます。この追加構造によって、ホモロジーでは区別できない空間をコホモロジー環で区別できる場合があります。たとえばトーラスと球面はホモロジー群が異なりますが、コホモロジー環の積構造がその差をより鮮明に示します。
代数幾何ではエタールコホモロジー・クリスタリンコホモロジーなどの高度な理論が発展し、ヴェイユ予想の証明（グロタンディーク・ドリーニュ）に決定的な役割を果たしました。
使い方・例文
閉曲面の穴の数（位相型）を調べるとき、コホモロジー群の次元（ベッチ数）を計算することで曲面の形状を識別します。
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