多様体とは？
たようたい
多様体とは、局所的には平坦なユークリッド空間と同じように見える、滑らかな曲がった空間のことです。
多様体（manifold）とは、数学における基本的な概念のひとつで、「局所的にはユークリッド空間と同相（トポロジカルに等しい）な位相空間」と定義されます。簡単に言えば、全体として曲がっていても、ごく小さい部分を取り出して見ればまっすぐな空間に見える構造のことです。
地球の表面は典型的な例で、実際には球面（曲面）ですが、狭い範囲では平面地図として扱えます。このように「局所的には平坦」という性質が多様体の本質です。次元によってさまざまな種類があります。
- 1次元多様体：直線や円など（曲線）
- 2次元多様体：平面・球面・トーラス（ドーナツ面）など
- n次元多様体：物理学の時空間モデルなど
多様体には「位相多様体」「微分多様体」「リーマン多様体」など種類があり、どれだけ滑らかな構造を持つかによって区別されます。微分幾何学では、曲率・測地線・接束などの概念を多様体上で定義し、一般相対性理論の数学的基盤としても用いられています。また、機械学習における「多様体仮説」では、高次元データが低次元の多様体上に分布するという考え方が活用されています。
使い方・例文
一般相対性理論では、宇宙の時空間が4次元のリーマン多様体として記述されます。データサイエンスでも、画像や音声データの潜在的な構造を多様体として捉える手法が研究されています。
この用語をシェア
最終更新: