ホモロジー群とは？
ほもろじーぐん
位相空間の「穴」の構造を代数的に捉える群で、位相不変量として空間の形状を分類するために用いられます。
ホモロジー群とは、位相空間の形状的な特徴（穴の構造）を代数的な群として表現したもので、代数的位相幾何学の中心的概念です。
直感的には、0次のホモロジー群 H₀ は連結成分の数、1次のホモロジー群 H₁ は1次元の「ループ状の穴」（例：円環のような穴）、2次のホモロジー群 H₂ は2次元の「空洞」（例：球面の内部の空洞）を捉えています。これらを組み合わせることで、空間の位相的な構造を系統的に記述できます。
数学的には、チェイン複体と呼ばれる構造を用いて構成されます。n次境界作用素 ∂ₙ を使って「境界のないサイクル（閉鎖チェイン）」の空間を「境界であるチェイン」の空間で割った商群として定義されます（Hₙ = Ker(∂ₙ) / Im(∂ₙ₊₁)）。
ホモロジー群は位相不変量であるため、同相な空間は同じホモロジー群を持ちます。球面・トーラス・クラインの壺などの区別に使われるほか、データ解析における位相的データ解析（TDA）の基礎としても近年注目されています。また、物理学や工学においても応用が広がっています。
使い方・例文
トーラス（ドーナツ形の面）と球面は形が異なりますが、ホモロジー群を計算することでその違いを代数的に証明できます。
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