微分形式とは？
びぶんけいしき
多変数微積分や幾何学において積分の概念を一般化したもので、曲線・曲面上の積分を統一的に扱う数学的対象です。
微分形式とは、多様体上で積分を行うための数学的対象であり、多変数微積分における線積分・面積分・体積積分を統一的な枠組みで記述するための概念です。
直感的には、1次微分形式はベクトル場に沿った積分（線積分）の被積分量、2次微分形式は曲面上の積分（面積分）の被積分量に対応します。たとえば f(x, y) dx + g(x, y) dy は2次元空間上の1次微分形式であり、曲線に沿って積分することができます。
微分形式の重要な操作として外微分 d があります。0形式（関数）に d を作用させると1形式（勾配に対応）、1形式に d を作用させると2形式（回転に対応）が得られます。この外微分を用いると、勾配・発散・回転といったベクトル解析の操作が統一的に表現されます。
ストークスの定理は「n次元多様体上での n 次微分形式の積分は、その境界上での (n−1) 次形式の積分に等しい」という形で一般化されます。これにより、グリーンの定理・ガウスの定理・古典的なストークスの定理がすべて同一の命題の特殊ケースとして統一されます。物理学の電磁気学・一般相対性理論・弦理論でも中心的な役割を果たしています。
使い方・例文
電磁気学でのファラデーの法則や電磁ポテンシャルの記述に、微分形式の言語が自然に用いられています。
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