ガウス・ボネ定理とは？
がうすぼねのていり
「定理」の用語まとめを見るガウス・ボネ定理とは、曲面の局所的な曲がり（ガウス曲率）の積分が、曲面の位相的な形状（オイラー標数）に等しいことを示す微分幾何学の根本定理です。
ガウス・ボネ定理（Gauss–Bonnet theorem）は、曲面の幾何学（局所的な曲がり）とトポロジー（大域的な形）を結びつける、微分幾何学で最も美しい定理のひとつです。
コンパクトな曲面 S に対して、次の等式が成り立ちます。
∫∫_S K dA = 2π・χ(S)
ここで K はガウス曲率（曲面の各点での曲がりの強さ）、dA は面積要素、χ(S) はオイラー標数です。球面では χ = 2、トーラスでは χ = 0 です。
この定理の驚きは、左辺が曲面の「形を変えると変わる」量（曲率の積分）であるにもかかわらず、右辺は位相的な不変量（トポロジーが変わらない限り変化しない量）だという点です。つまり、球をどれだけ歪めて変形しても、曲率の積分は常に 4π になります。
応用と意義としては次のものが挙げられます。
- 一般相対性理論における時空の曲率の理解
- 材料科学：薄膜・シェルの変形解析
- データ解析：点群データからの形状認識
- 数学的基礎：アティヤ＝シンガーの指数定理など現代数学への橋渡し
カール・フリードリヒ・ガウスとピエール・オシアン・ボネによって19世紀に確立されたこの定理は、局所と大域をつなぐ数学の力を象徴しています。
使い方・例文
地球儀（球面）をどんな形に変形しても、ガウス曲率を全面積で積分すると必ず 4π になります。コンピュータグラフィックスや3D形状解析で曲面の種類を判定するのにも使われます。
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