ガウス曲率とは？意味・定義をわかりやすく解説

Q: ガウス曲率とは？

ガウス曲率（英: Gaussian curvature）とは、3次元空間内の曲面の各点において、その点での曲がり具合を一つの数値で表したものです。ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスが導入した概念で、微分幾何学の根幹をなします。曲面上の点 P における主曲率 κ₁ と κ₂ の積として定義されます（K = κ₁ × κ₂）。主曲率とは、その点を通る法線を含む断面のうち、曲率が最大・最小となる方向の値です。ガウス曲率の値による曲面の分類は次の通りです。K ＞ 0（正）： 球面・楕円面のような形状。曲面がすべての方向に同じ向きに曲がっているK = 0（零）： 平面・円柱面・円錐面のような形状。一方向には曲がっていないK ＜ 0（負）： 鞍点を持つ双曲面のような形状。互いに逆向きに曲がっているガウスの「驚くべき定理（Theorema Egregium）」により、ガウス曲率は曲面に内在する性質（距離の測り方だけから決まる）であることが示されています。この事実は、地球の球面を平面地図に正確に描き写すことが不可能であることの数学的根拠となっています。一般相対性理論や地図投影法など、幅広い分野で活用されます。

ガウス曲率とは？

がうすきょくりつ

ガウス曲率とは、曲面の各点における曲がり具合を表す量で、曲面の内在的な幾何学的性質を特徴づける重要な概念です。

ガウス曲率（英: Gaussian curvature）とは、3次元空間内の曲面の各点において、その点での曲がり具合を一つの数値で表したものです。ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスが導入した概念で、微分幾何学の根幹をなします。

曲面上の点 P における主曲率 κ₁ と κ₂ の積として定義されます（K = κ₁ × κ₂）。主曲率とは、その点を通る法線を含む断面のうち、曲率が最大・最小となる方向の値です。

ガウス曲率の値による曲面の分類は次の通りです。

K ＞ 0（正）： 球面・楕円面のような形状。曲面がすべての方向に同じ向きに曲がっている
K = 0（零）： 平面・円柱面・円錐面のような形状。一方向には曲がっていない
K ＜ 0（負）： 鞍点を持つ双曲面のような形状。互いに逆向きに曲がっている

ガウスの「驚くべき定理（Theorema Egregium）」により、ガウス曲率は曲面に内在する性質（距離の測り方だけから決まる）であることが示されています。この事実は、地球の球面を平面地図に正確に描き写すことが不可能であることの数学的根拠となっています。一般相対性理論や地図投影法など、幅広い分野で活用されます。

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