連結空間とは？
れんけつくうかん
位相空間において、空でない2つの開集合に分割できない、つまり「ひとつながり」になっている空間のことです。
連結空間とは、位相空間 X が互いに素な2つの空でない開集合の和として表せないとき、X は連結であるといいます。直感的には「バラバラに切り分けられない、一体となっている空間」を意味します。
より正確には、位相空間 X が連結でないとき、X は非連結（分離可能）と呼ばれ、X = U ∪ V（U と V はともに空でない開集合、かつ互いに素）と書けます。実数直線 ℝ やその区間 [a, b]、円、球面などは連結空間の典型例です。一方、孤立した2点の集合 {0, 1}（離散位相）は連結ではありません。
連結性にはいくつかのバリエーションがあります。弧状連結は任意の2点を連続曲線で結べる性質で、連結より強い条件です。また局所連結は各点の近傍が連結であることを指します。これらは一般には同値ではなく、位相空間論での重要な区別点です。
連結性は位相不変量のひとつであり、二つの空間が同相かどうかを判定する際の道具として使われます。代数的位相幾何学や微分幾何学においても基礎的な概念として広く登場します。
使い方・例文
実数の区間 [0, 1] は連結空間であり、連続写像の中間値定理の証明にこの性質が用いられます。
この用語をシェア
最終更新: