算術の基本定理とは？
さんじゅつのきほんていり
「定理」の用語まとめを見る算術の基本定理とは、1より大きい整数はすべて素数の積として一意に表せるという数学の根本的な定理です。
算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり）とは、「1より大きいすべての整数は、素数の積として一意に（順序を除いて）表すことができる」という数学の定理です。素因数分解の一意性定理とも呼ばれ、数論の基礎をなす最重要定理の一つです。
たとえば、12 = 2 × 2 × 3 というように分解できますが、この分解は（かけ算の順序を変えることを除いて）唯一の方法です。60 = 2 × 2 × 3 × 5 なども同様に、どのような手順で素因数分解を行っても、必ず同じ素数の組み合わせに行き着きます。
この定理は二つの主張からなっています。
- 存在性：どんな2以上の整数も素数の積に分解できる
- 一意性：その分解の仕方はただ一通り（順序を別にする）
一意性の証明には、ユークリッドの補題（素数pがabを割り切るならpはaかbの少なくとも一方を割り切る）が重要な役割を果たします。
この定理が成り立つことで、最大公約数・最小公倍数の計算、合同式・暗号理論（RSA暗号など）、代数的整数論など、数学のさまざまな分野の理論が成立します。素因数分解の一意性は整数の「指紋」ともいえる性質で、数学の世界を支える縁の下の力持ちです。
使い方・例文
小学校の算数で12 = 2 × 2 × 3 と素因数分解を習いますが、この分解が必ず一通りしかないことを保証するのが算術の基本定理です。
この用語をシェア
最終更新: