対称空間とは？
たいしょうくうかん
対称空間とは、どの点においても対称な反射が定義できるリーマン多様体の一種で、微分幾何学や物理学で広く用いられる数学的構造です。
対称空間（symmetric space）は、微分幾何学における重要な概念で、各点においてその点を中心とした「対称変換」が等長写像（距離を変えない変換）として定義できるリーマン多様体のことです。直感的には、どの点を選んでもその点を軸に「折り返す」操作が空間の形を変えずに成立する、高い対称性をもつ空間といえます。
対称空間はエリー・カルタンによって20世紀初頭に体系的に分類されました。大きくはコンパクト型と非コンパクト型に分かれ、さらにリー群の理論と深く結びついています。具体的な例としては以下が挙げられます。
- 球面（S^n）：正の曲率をもつコンパクト型の代表例
- 双曲空間（H^n）：負の曲率をもつ非コンパクト型の代表例
- ユークリッド空間：曲率ゼロの対称空間
- グラスマン多様体：部分空間全体を表す対称空間
対称空間の最大の特長は、曲率テンソルが平行であること、すなわち空間のいたるところで幾何的性質が均一である点にあります。この性質により、解析的な取り扱いが容易になります。
応用面では、素粒子物理学のゲージ理論・一般相対性理論・調和解析・数論など多岐にわたる分野で対称空間の概念が活躍しています。特に、物理における場の対称性の記述において欠かせない道具となっています。
使い方・例文
球面や双曲面は対称空間の身近な例であり、一般相対性理論において宇宙の幾何構造を記述する際に対称空間の枠組みが用いられます。
この用語をシェア
最終更新: