一様収束とは？
いちようしゅうそく
一様収束とは、関数列が定義域全体で「一斉に」同じ速さで極限関数に近づく収束の概念で、各点収束より強い条件です。
一様収束（uniform convergence）とは、関数列 f₁, f₂, f₃, … が関数 f に収束する際、どの点 x を選んでも同じ「精度保証」が得られるような収束の形式です。正式には、任意の ε > 0 に対してある番号 N が存在し、n ≥ N であればすべての x において |fₙ(x) − f(x)|
一様収束は「各点収束」より厳しい条件です。各点収束では、点 x ごとに N を選んでよいのに対し、一様収束では N をすべての x に共通して選ばなければなりません。この違いが解析学における多くの定理の成否を左右します。
一様収束の主な重要性は以下の点にあります。
一様収束の概念は19世紀にワイエルシュトラスらによって厳密化されました。現代の実解析・複素解析・関数解析において欠かせない基本概念です。
使い方・例文
三角関数のフーリエ級数や べき級数 Σaₙxⁿ が或る区間上で一様収束するとき、その和関数の連続性や項別積分の正当性を保証するために一様収束の概念が使われます。
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