ルジャンドル変換とは？
るじゃんどるへんかん
ルジャンドル変換とは、関数をその接線の傾き（導関数）を新たな変数として書き換える数学的操作で、熱力学や力学で広く使われます。
ルジャンドル変換（Legendre Transform）は、凸関数 f(x) に対して、その導関数 p = f'(x) を新たな変数として採用し、新しい関数 g(p) = px − f(x) を定義する変換です。19世紀のフランスの数学者アドリアン=マリー・ルジャンドルにちなんで名付けられました。
この変換の本質は、関数を「値と引数の関係」ではなく「接線の傾きと切片の関係」として捉え直すことにあります。変換後の関数 g(p) をルジャンドル変換と呼び、ルジャンドル変換をもう一度適用すると元の関数に戻るという対称性（対合性）を持ちます。
熱力学においてルジャンドル変換は特に重要な役割を担い、各種熱力学ポテンシャルの間の変換に使われます。
- 内部エネルギー U → ヘルムホルツ自由エネルギー F（温度を変数に）
- 内部エネルギー U → エンタルピー H（圧力を変数に）
- さらに → ギブス自由エネルギー G（温度・圧力を変数に）
古典力学においても、ラグランジアンからハミルトニアンへの移行はルジャンドル変換によって行われます。また、経済学の費用関数や生産関数の分析、機械学習の凸最適化理論にも応用されるなど、理論的な広がりを持つ重要な数学的道具です。
使い方・例文
熱力学では、内部エネルギーを体積と圧力の関係で表すより、温度と圧力を変数にしたギブス自由エネルギーの方が実験的に扱いやすい場合があります。このとき、ルジャンドル変換を使って変数を切り替えます。
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