マクローリン展開とは？

マクローリン展開（Maclaurin expansion）とは、テイラー展開の特殊な場合であり、関数 f(x) を x=0 を中心とした無限個の項からなるべき級数（多項式の無限和）として表す手法です。スコットランドの数学者コリン・マクローリン（Colin Maclaurin, 1698–1746）にちなんで名付けられましたが、同様の展開はそれ以前にも研究されていました。

マクローリン展開の一般式は次のような形をとります。関数 f(x) が x=0 において何度でも微分可能なとき、f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2! × x² + f'''(0)/3! × x³ + … と表されます。すなわち、各係数は x=0 での n 階微分値を n の階乗で割った値になります。

この展開は数学・物理学・工学の幅広い場面で活用されます。代表的な例を挙げると以下のとおりです。

• 指数関数：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
• 正弦関数：sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - …
• 余弦関数：cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - …
• 自然対数：ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - …（|x|≦1）

マクローリン展開を使うことで、複雑な関数を多項式で近似でき、計算機による数値計算や微分方程式の近似解を求める際などに非常に有用です。収束する範囲（収束半径）の確認が必要な点にも注意が必要です。