チャーン類とは？
ちゃーんるい
複素ベクトル束の位相的な「ねじれ」を測る不変量で、代数幾何学や位相幾何学の中心的な概念です。
チャーン類（Chern class）とは、複素多様体や代数多様体上の複素ベクトル束に対して定義されるコホモロジー類であり、そのベクトル束の大域的な位相的性質を記述する不変量です。数学者シン＝シェン・チャーン（陳省身）にちなんで名付けられました。
直感的には、チャーン類はベクトル束が「どれだけねじれているか」を測る量です。自明なベクトル束（単純な積空間）のチャーン類はすべて 0 となります。最も基本的なのが第1チャーン類 c₁で、線束（ランク1の複素ベクトル束）の分類に対応し、物理的には磁場のような量と関連します。
チャーン類の定義は接続とその曲率行列を用いて与えられます。曲率行列 F から多項式（チャーン多項式）を構成することで、各次数のチャーン類 c₀, c₁, c₂, … が得られます。これらは底空間の偶数次元コホモロジー群の元となります。
応用として、リーマン-ロッホの定理やアティヤ-シンガーの指数定理など代数幾何学・大域解析学の重要定理と深く結びついています。また、物理学では位相的絶縁体の分類や量子ホール効果の理解にも用いられており、純粋数学と理論物理学の双方で不可欠な概念となっています。
使い方・例文
リーマン面上の正則直線束の分類にチャーン類が用いられ、ベクトル束の大域的性質が代数的に記述されます。
この用語をシェア
最終更新: