第二基本形式とは？
だいにきほんけいしき
第二基本形式とは、曲面が空間の中でどのように曲がっているかを記述する微分幾何学の基本的な道具で、主曲率の計算に用います。
第二基本形式（だいにきほんけいしき、英: second fundamental form）とは、3次元ユークリッド空間内に埋め込まれた曲面の外在的な曲がり方（空間に対してどう曲がっているか）を表す二次形式です。第一基本形式（計量テンソル）が曲面上の距離や角度を記述するのに対し、第二基本形式は曲面が周囲の空間に対してどのように湾曲しているかを定量化します。
曲面の各点における単位法ベクトル n を用いて定義され、曲面上の二つの接ベクトル方向に対して法ベクトルがどのように変化するかを表します。具体的には、局所座標 (u,v) を用いて L du² + 2M du dv + N dv² の形で書かれます。
第二基本形式から導かれる重要な量を以下に示します。
- 主曲率： 第一・第二基本形式の固有値問題として計算される
- ガウス曲率： 二つの主曲率の積（= det(第二基本形式)/det(第一基本形式)）
- 平均曲率： 二つの主曲率の平均
- 曲率線： 主曲率方向に沿った曲線
第二基本形式はリーマン幾何学での曲面論の基礎をなし、一般相対性理論における時空の曲率記述、数値解析での曲面メッシュ処理、コンピュータビジョンでの形状認識などに応用されています。
使い方・例文
球面では第二基本形式が計量に比例する（すなわちどの方向にも同じ率で曲がっている）ため、主曲率が等しくなります。円柱面では軸方向の主曲率がゼロとなり、第二基本形式はその非等方性を表します。
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