特異値分解とは？意味・定義をわかりやすく解説

Q: 特異値分解とは？

特異値分解（SVD：Singular Value Decomposition）は、任意のm×n行列Aを「A = UΣV^T」という形式に分解する線形代数の基本的な操作です。各行列の意味は次の通りです。U：m×m の直交行列（左特異ベクトルを列に並べたもの）Σ：m×n の対角行列（対角成分が特異値、非負の実数で大きい順に並ぶ）V^T：n×n の直交行列の転置（右特異ベクトルを行に並べたもの）特異値は行列が各方向にデータをどれだけ「引き伸ばす」かを表し、大きな特異値ほど情報量が多い方向に対応します。この性質を利用して、小さな特異値を切り捨てることで行列の低ランク近似が実現できます。応用例は多岐にわたります。画像圧縮では上位の特異値だけを残すことでファイルサイズを削減し、推薦システムでは利用者と商品の行列を分解してユーザーの潜在的な好みを抽出します。また自然言語処理の潜在意味解析（LSA）や、主成分分析（PCA）の計算基盤としても使われます。数値的に安定した計算が可能なため、科学技術計算の基礎ツールとして欠かせない存在です。

特異値分解とは？

とくいちぶんかい

特異値分解とは、任意の行列を三つの特別な行列の積に分解する線形代数の手法で、データ圧縮・機械学習・信号処理などに広く応用されます。

特異値分解（SVD：Singular Value Decomposition）は、任意のm×n行列Aを「A = UΣV^T」という形式に分解する線形代数の基本的な操作です。

各行列の意味は次の通りです。

U：m×m の直交行列（左特異ベクトルを列に並べたもの）
Σ：m×n の対角行列（対角成分が特異値、非負の実数で大きい順に並ぶ）
V^T：n×n の直交行列の転置（右特異ベクトルを行に並べたもの）

特異値は行列が各方向にデータをどれだけ「引き伸ばす」かを表し、大きな特異値ほど情報量が多い方向に対応します。この性質を利用して、小さな特異値を切り捨てることで行列の低ランク近似が実現できます。

応用例は多岐にわたります。画像圧縮では上位の特異値だけを残すことでファイルサイズを削減し、推薦システムでは利用者と商品の行列を分解してユーザーの潜在的な好みを抽出します。また自然言語処理の潜在意味解析（LSA）や、主成分分析（PCA）の計算基盤としても使われます。数値的に安定した計算が可能なため、科学技術計算の基礎ツールとして欠かせない存在です。

特異値分解とは？

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