無矛盾性とは？
むむじゅんせい
無矛盾性とは、ある論理体系や公理系において、ある命題とその否定の両方を同時に証明できないという性質のことです。
無矛盾性（consistency）とは、形式的な論理体系や公理系が持つ基本的な性質の一つで、「体系の中で矛盾（ある命題Pと¬Pの両方）が導かれない」ことを意味します。もし体系が矛盾を含む場合、爆発律（ex contradictione quodlibet）により任意の命題が証明可能になってしまうため、体系としての意味を失います。
形式的には、体系Lが無矛盾であるとは「LがφとLが¬φを同時に証明できない命題φが存在する」あるいは「Lがすべての命題を証明できるわけではない」と定義されます。
数理論理学における最重要な問題の一つが、公理系の無矛盾性を証明することでした。ヒルベルトは20世紀初頭に、数学の全体を有限の公理から矛盾なく展開できることを示そうとするヒルベルト・プログラムを提唱しました。しかし、1931年のゲーデルの第二不完全性定理により、「十分に豊かな算術体系はその体系自身の無矛盾性を体系内で証明できない」ことが示され、このプログラムに限界があることが明らかになりました。
実用的な文脈では、ある公理の集合を採用した際にそれが無矛盾かどうかを検証することが、数学的・論理的な議論の信頼性を担保するうえで重要です。ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）の無矛盾性も現在のところ体系外の仮定なしには証明できないとされています。
使い方・例文
「すべての命題は真である」という公理を加えると、「PはQである」と「PはQでない」が同時に証明でき、矛盾が生じます。無矛盾性の検証は、このような自己崩壊を防ぐために理論構築の初期段階で行われます。
この用語をシェア
最終更新: