対称群とは？
たいしょうぐん
対称群とは、n個の要素の並べ替え（置換）すべてを集めた群のことで、群論の中心的な研究対象であり現代代数学の基礎をなす構造のことです。
対称群（symmetric group）とは、n個の要素からなる集合のすべての置換（並べ替え）を元とし、置換の合成を演算とする群のことです。n個の要素の対称群は Sn と表され、その元の個数（位数）は n の階乗（n!）になります。たとえば S3 は6つの置換からなり、正三角形の対称変換と一対一に対応します。
- 互換：二つの要素を入れ替える最も基本的な置換で、すべての置換は互換の積として表せます。
- 偶置換・奇置換：互換の積の個数の偶奇によって分類され、偶置換の全体は交代群（An）という正規部分群をなします。
- ケイリーの定理：任意の有限群は対称群のある部分群と同型であることが示され、対称群の普遍的な重要性を示します。
対称群はガロア理論において中心的な役割を果たします。多項式方程式の根の置換がなす群（ガロア群）を調べることで、方程式が根号で解けるかどうかを判定できます。アーベルが5次方程式の一般解不能を証明し、ガロアが理論を完成させた際にも対称群の構造が鍵となりました。
現代では素粒子物理学・結晶学・符号理論など、対称性を扱うあらゆる分野で対称群の考え方が応用されています。
使い方・例文
3枚のカードA・B・Cの並べ替え（ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA）の全体が対称群 S3 を形成します。パズルやゲームの状態遷移の分析にも対称群の概念が使われます。
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