階乗とは？
かいじょう
階乗とは、1からある正の整数nまでの全ての整数を掛け合わせた積のことで、「n!」と表記します。
階乗（かいじょう、factorial）は、正の整数nに対して、1からnまでの全ての自然数を掛け合わせた積のことです。記号は「n!」（nエクスクラメーション、またはnビックリマーク）で表します。
具体的な計算例を挙げると以下のようになります。
- 1! ＝ 1
- 2! ＝ 2×1 ＝ 2
- 3! ＝ 3×2×1 ＝ 6
- 4! ＝ 4×3×2×1 ＝ 24
- 5! ＝ 5×4×3×2×1 ＝ 120
特別な定義として0! ＝ 1と定められています。これは数学的な整合性（組合せの公式が成立するため）から決められた約束です。
階乗が最もよく登場するのは「場合の数」の計算です。
- 順列：n個の異なるものをr個並べる場合の数 P(n,r)＝n!/(n-r)!
- 組合せ：n個の異なるものからr個を選ぶ場合の数 C(n,r)＝n!/(r!(n-r)!)
階乗は非常に急激に増加する関数で、10!＝3,628,800、20!は約2.4×10の18乗という天文学的な数になります。この性質はアルゴリズムの計算量（計算コスト）の分析でも登場し、「n!通りの組み合わせを全て試す」ことが現実的に不可能であることを示すために使われます。
使い方・例文
「5人を1列に並べる並び方は何通りか」という問題は5!＝120通りと求められ、パスワードの組み合わせ数やスケジュール最適化の問題で階乗が登場します。
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