多変量正規分布とは？
たへんりょうせいきぶんぷ
多変量正規分布とは、複数の確率変数がそれぞれ正規分布に従いながら、互いに相関を持つ場合の同時分布です。
多変量正規分布（英語：multivariate normal distribution）は、一変量正規分布を多次元に拡張した確率分布で、k次元の確率変数ベクトルXが従う分布です。平均ベクトルμ（各変数の平均値を並べたベクトル）と共分散行列Σ（変数間の分散・共分散を表す行列）の二つのパラメータで完全に特徴付けられます。
確率密度関数は次のように表されます。
f(x) = (2π)^(−k/2) |Σ|^(−1/2) exp(−(x−μ)ᵀ Σ⁻¹ (x−μ) / 2)
共分散行列Σの対角成分は各変数の分散を、非対角成分は変数間の共分散（相関の大きさと向き）を表します。共分散行列が対角行列（非対角成分がゼロ）であれば、各変数は互いに独立です。
多変量正規分布には以下のような重要な性質があります。
- 周辺分布も正規分布に従う。
- 条件付き分布も正規分布に従う。
- 線形変換を施した結果も正規分布に従う。
- 中心極限定理の多変量版が成立する。
応用面では、機械学習のガウス過程回帰、主成分分析、線形判別分析、ポートフォリオのリスク評価など、複数の変数を同時に扱う場面で広く利用されます。多変量解析の理論的基盤として、統計学・データサイエンス双方で欠かせない存在です。
使い方・例文
身長と体重の二変量データは多変量正規分布で近似されることが多く、両変数の平均・分散・相関を用いて同時確率や条件付き分布を計算できます。
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