ホモトピーとは？
ほもとぴー
ホモトピーとは、二つの連続写像を連続的に変形してつなぐ操作のことで、位相幾何学における「形の本質的な同じさ」を論じる基本概念です。
ホモトピー（英: homotopy）とは、位相空間 X から位相空間 Y への二つの連続写像 f と g が「連続的に変形して移り合える」という関係を指します。数学的には、連続写像 H: X × [0,1] → Y が存在して H(x,0) = f(x)、H(x,1) = g(x) を満たすとき、f と g はホモトピックであると言います。この H をホモトピーと呼びます。
ホモトピーの概念は「穴の有無」など、位相空間の本質的な構造を捉えるために導入されました。連続変形で移り合える写像は同じ「トポロジー的性質」を持つと考えます。
ホモトピーに関連する重要な概念には次のものがあります。
- 基本群（ホモトピー群 π₁）： 基点を固定したループのホモトピー類の群。「穴」の数を反映する
- 高次ホモトピー群 πₙ： n 次元球面からの写像のホモトピー類で、空間のより高次の構造を捉える
- ホモトピー同値： 二つの空間が「本質的に同じ形」であることを示す関係
- 収縮可能な空間： 一点にホモトピー同値な空間（ユークリッド空間など）
ホモトピーの理論はトポロジーの中心的分野であり、代数的位相幾何学の基礎をなします。また、物理学での場の理論や弦理論における位相的性質の分類にも深く関係します。
使い方・例文
円周上の「一周するループ」と「一点に縮んだループ」はホモトピックではありませんが、平面上では任意のループは一点に連続変形できるため、すべてのループはホモトピックです。この違いが「穴の有無」を反映しています。
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