基本群とは？
きほんぐん
基本群とは、位相空間の中の閉じたループの変形のしかたを表す群であり、その空間の穴の構造を代数的に捉える位相不変量のことです。
基本群（ファンダメンタルグループ、π₁）とは、位相空間上の一点（基点）を固定し、その点から出発して同じ点に戻る閉じた道（ループ）を、連続変形（ホモトピー）の同値類としてまとめたときに得られる群のことです。代数的位相幾何学（代数トポロジー）の中核的な概念です。
二つのループが「連続変形によって一方から他方に移れる」とき、それらは同じホモトピー類に属します。この同値類の集合に、ループのつなぎ合わせ（積）を演算として定義すると群の構造が入り、これが基本群です。
基本群が持つ性質の例を挙げると次のとおりです。
- 球面（S²）の基本群は自明群（単位元のみ）で、すべてのループが縮まる
- 円周（S¹）の基本群は整数の加法群 ℤ で、何周したかを表す
- トーラス（ドーナツ面）の基本群は ℤ×ℤ で、縦横の巻き方を表す
基本群は空間の「穴」の個数や種類を代数的に記述する手段であり、位相同型な空間は同じ基本群を持ちます。これを利用して「二つの空間が位相的に同じか」を判定できます。幾何学・物理学・データ解析など幅広い分野で応用されています。
使い方・例文
コーヒーカップとドーナツが位相的に同型であることの説明において、両者の基本群がともに ℤ と計算されることが証拠として使われる場面が典型例です。
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