パスカルの三角形とは？
ぱすかるのさんかっけい
パスカルの三角形とは、各行の数が上の行の隣り合う2数の和になるよう並べた数の三角形で、二項係数や組み合わせ数が一覧できます。
パスカルの三角形は、頂点に1を置き、各段の端は1、内側の数はその真上2つの数の和になるように数を並べた三角形の図形です。17世紀のフランスの数学者ブレーズ・パスカルの名を冠していますが、実際にはそれ以前から中国やイスラム世界でも同様の図が知られていました。
上から数えてn行目の左からk番目の数は、二項係数 C(n-1, k-1) に対応します。これにより、パスカルの三角形を見るだけでさまざまな組み合わせの数を読み取ることができます。
パスカルの三角形に含まれる主な性質を挙げます。
- 二項定理との対応：(a+b)ⁿ を展開した係数がそのまま読める
- 各行の総和：n行目の数の合計は 2ⁿ⁻¹ になる
- フィボナッチ数列：斜め方向の数の和がフィボナッチ数列を形成する
- シェルピンスキーのガスケット：奇数と偶数を色分けするとフラクタル図形が現れる
数学の授業では主に二項定理の係数を求めるために使われますが、確率論・組み合わせ論・数論など幅広い分野で基礎的な役割を果たし、数学の美しさを示す代表例として世界中で紹介されています。
使い方・例文
高校数学で (a+b)⁵ を展開するとき、パスカルの三角形の6行目を読むと係数が 1, 5, 10, 10, 5, 1 とすぐにわかり、計算の手間を大幅に省くことができます。
この用語をシェア
最終更新: