二項定理とは？
にこうていり
「定理」の用語まとめを見る二項定理とは、(a＋b)のn乗を展開したときの各項の係数を、二項係数（組み合わせの数）を使って一般的に表した定理です。
二項定理とは、2つの項の和のべき乗 (a＋b)ⁿ を展開したときに現れる各項の係数が、二項係数（nCk）によって決まることを示した代数学の基本定理です。一般式は次のように表されます：(a＋b)ⁿ ＝ Σ(k＝0からn) nCk・aⁿ⁻ᵏ・bᵏ。ここで nCk はn個からk個を選ぶ組み合わせの数で、n!/(k!(n−k)!) と計算されます。
二項係数を三角形状に並べたものが「パスカルの三角形」です。各段の数は、直上の2数の和になるという規則があり、二項展開の係数を素早く読み取ることができます。たとえば (a＋b)³ ＝ a³＋3a²b＋3ab²＋b³ となり、係数は 1, 3, 3, 1 です。
二項定理は以下のような場面で活用されます。
- 複雑なべき乗の展開を手早く行う（高校数学の頻出問題）。
- 特定の項の係数だけを求める（「(x＋2)⁵ の x³ の係数は？」など）。
- 確率論における二項分布の導出の基礎。
- 近似計算：|b/a|が小さいとき、(a＋b)ⁿ ≈ aⁿ＋naⁿ⁻¹b と近似できる。
ニュートンはこの定理を整数べき乗以外（分数・負の数）にも拡張し、現在では関数の級数展開にも応用されています。
使い方・例文
(1＋x)¹⁰ を展開するとき、x³ の係数を求めるには 10C3＝120 と計算するだけで済みます。このように全展開せずに特定の項だけ取り出せるのが二項定理の便利な点です。
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