スターリング近似とは？
すたーりんぐきんじ
スターリング近似とは、大きな数の階乗 n! を簡単な数式で近似する公式で、確率論や統計物理学で広く使われます。
スターリング近似（英: Stirling's approximation）とは、自然数 n の階乗 n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n を、n が大きいときに近似する公式です。スコットランドの数学者ジェームズ・スターリング（James Stirling）にちなんで名付けられています。
最もよく使われる形は次の通りです。
ln(n!) ≈ n ln(n) − n
より精度の高い形は
n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ
です。さらに高次の補正項を加えたスターリング級数も存在します。
スターリング近似が重要な理由を以下に示します。
- 統計物理学： ボルツマンのエントロピー公式 S = k ln W の計算で、多数の粒子の配置数 W の対数を扱う際に不可欠
- 情報理論： 二項係数 C(n,k) の対数を大数の法則に関連して近似する
- 確率論・組合せ論： 大きな二項分布・多項分布を正規分布で近似する際の基礎
- 量子統計： 量子系の状態数の計算（フェルミ・ディラック・ボーズ・アインシュタイン統計）
スターリング近似は数値計算においても重要で、n が数十以上になると n! は直接計算が困難なほど大きくなるため、対数形式の近似が実用上必須となります。
使い方・例文
100! は約 10¹⁵⁷ という巨大な数ですが、スターリング近似を使うと ln(100!) ≈ 100 × ln(100) − 100 ≈ 360.5 と素早く計算できます。統計力学でエントロピーを計算するときにこの近似が頻繁に登場します。
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