ゲーデルの不完全性定理とは？
げーでるのふかんぜんせいていり
「定理」の用語まとめを見るゲーデルの不完全性定理とは、十分強力な数学的公理系には証明も反証もできない命題が必ず存在するという、数学の根幹を揺るがした定理です。
ゲーデルの不完全性定理は、数学者クルト・ゲーデルが1931年に発表した数理論理学の最重要定理です。自然数の算術を含む「十分強力で無矛盾な形式的公理系」には、その公理系の中では証明も否定もできない真の命題が必ず存在することを示しています。
定理は2つあります。
- 第1不完全性定理：十分強力で無矛盾な公理系は必ず不完全である（証明できない真の命題が存在する）
- 第2不完全性定理：そのような公理系は自身の無矛盾性をその公理系の内部では証明できない
証明の核心は「ゲーデル数」という巧みな技法です。数学的命題を自然数に符号化し、「この命題は証明不可能である」という自己言及的な命題を構成することで、パラドックスなしに不完全性を示しました。
この定理が数学・哲学に与えた影響は計り知れません。それまでヒルベルトが目指していた「数学の完全な形式化と無矛盾性の証明」というプログラムが原理的に不可能であることが示されました。また計算理論との深い関係も後に明らかとなり、コンピュータで解けない問題（停止問題など）の存在とも根底でつながっています。数学・論理学・哲学・コンピュータ科学の教科書で必ず扱われる20世紀最大の知的成果の一つです。
使い方・例文
ゲーデルの不完全性定理は、「すべての数学的真実は原理的に証明できるはずだ」という信念を覆しました。どれだけ公理を増やしても、必ずその公理系で証明できない真の命題が残ることを示しています。
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