グリーン定理とは？
ぐりーんていり
「定理」の用語まとめを見る平面上の閉曲線に沿った線積分と、その曲線が囲む領域上の二重積分を結びつける微積分学の定理です。
グリーン定理とは、2次元平面において、領域Dを囲む閉曲線C上の線積分と、領域D全体にわたる二重積分の間に成り立つ関係式を示した定理です。イギリスの数学者ジョージ・グリーンが1828年に発表しました。
C²級の関数P(x,y)とQ(x,y)に対して、グリーン定理は次のように表されます。
∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA
左辺は閉曲線C（反時計回り）に沿った線積分、右辺はCが囲む領域Dにおける二重積分です。
グリーン定理の主な応用と意義は以下の通りです。
- 閉曲線の面積計算（P=0, Q=x などを選ぶと面積公式が得られる）
- ベクトル場の回転（渦度）と循環の関係を2次元で表現する
- ストークスの定理の2次元版として位置づけられる
- 流体力学・電磁気学における計算の簡略化
グリーン定理はガウスの発散定理・ストークスの定理とともに「微積分学の基本定理の高次元版」を構成する重要な定理群の一つです。物理では電磁場の計算や流体の渦の解析に使われ、工学的にも広く活用されています。連続的に変化する2次元の場（フィールド）を扱う際の強力な道具として、理工系の学部でほぼ必ず学ぶ内容です。
使い方・例文
「閉曲線で囲まれた不規則な図形の面積を求めるとき、グリーン定理を使えば複雑な二重積分を曲線上の線積分に置き換えて計算できる」という場面で使われます。
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