カントール集合とは？
かんとーるしゅうごう
カントール集合とは、閉区間から中央部分を繰り返し取り除くことで作られる、フラクタル的な性質を持つ点の集合です。
カントール集合とは、区間[0, 1]から中央の3分の1を繰り返し除去する操作を無限に続けることで得られる点の集合です。19世紀にゲオルク・カントールが考案しました。
具体的には、まず[0,1]から開区間(1/3, 2/3)を取り除き、残った2つの区間それぞれから中央3分の1を取り除くという操作を無限に繰り返します。この過程で取り除かれる区間の長さの合計はちょうど1になりますが、それでも無限に多くの点が残ります。
カントール集合の性質は直観に反する点が多く、非常に興味深い特徴を持ちます。まず、集合の「長さ」（ルベーグ測度）はゼロですが、含まれる点の個数（濃度）は実数全体と同じ非可算無限です。また、どの点の近くにも別のカントール集合の点があるという意味で「完全集合」でもあります。
カントール集合はフラクタル幾何学の原型的な例であり、自己相似性を持ちます。実数論・測度論・位相空間論の反例として頻繁に登場するほか、カオス理論や力学系の研究でもアトラクターの構造を理解するために活用されます。
使い方・例文
測度ゼロでありながら実数と同じ濃度を持つカントール集合は、直観を覆す例として数学の講義でよく紹介されます。
この用語をシェア
最終更新: