平均値の定理とは？
へいきんちのていり
「定理」の用語まとめを見る平均値の定理とは、滑らかな曲線上の2点を結ぶ直線と平行な接線が、その区間のどこかに必ず存在するという微分積分学の基本定理です。
平均値の定理（mean value theorem）とは、微分積分学における根幹的な定理で、「閉区間[a,b]で連続かつ開区間(a,b)で微分可能な関数f(x)に対して、(f(b)－f(a))/(b－a)＝f'(c) となる点cが区間(a,b)内に少なくとも1つ存在する」というものです。
直感的に言えば、2点間を結ぶ線分（平均変化率）と同じ傾きの接線が、その区間のどこかに必ず引けるということです。高速道路の例で例えると、200kmの区間を2時間で走れば、どこかの瞬間に時速100kmで走っていた瞬間が必ずあることが保証されます。
平均値の定理が重要な理由は以下のとおりです。
- 微分と関数の増減の関係：f'(x)＞0なら関数が増加することの証明に使われる
- ロピタルの定理：不定形の極限を求める定理の証明に平均値の定理が使われる
- 誤差評価：数値計算や近似の誤差の上界を評価する際に利用される
- コーシーの平均値の定理への一般化：2つの関数の比率に拡張した形式もある
平均値の定理はロールの定理（両端の値が等しい場合の特殊ケース）を一般化したものです。解析学の様々な定理の証明に登場する縁の下の力持ちともいえる定理で、数学教育では微積分の理論的基礎として必ず扱われます。
使い方・例文
高速道路の通行記録で「200kmを1時間40分」と記録されていれば、どこかの瞬間に時速120kmを超えていたことが平均値の定理から証明できます。スピード違反の取締りで「区間平均速度」を使う発想はこの定理と同じ論理です。
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