剰余の定理とは？
じょうよのていり
「定理」の用語まとめを見る剰余の定理とは、多項式f(x)をx－aで割ったときの余りがf(a)に等しいという、代数学における基本定理です。
剰余の定理（じょうよのていり）は、多項式の除法に関する代数学の定理で、「多項式f(x)を一次式(x－a)で割ったときの余りはf(a)に等しい」という内容を示します。英語では「Remainder Theorem」と呼ばれます。
この定理の証明は比較的シンプルで、多項式f(x)を(x－a)で割ったときの商をQ(x)、余りをRとすると、f(x)＝(x－a)Q(x)＋Rと書けます。この式にx＝aを代入すると、f(a)＝0・Q(a)＋R＝Rとなり、余りRがf(a)に等しいことが示されます。
剰余の定理は次のような場面で特に役立ちます。
- 多項式を実際に割り算しなくても余りをすぐに求められる。
- 因数定理（f(a)＝0のとき(x－a)はf(x)の因数）の導出に用いられる。
- 高次方程式の解を探索するときの手がかりになる。
- 数値計算や代数的手法での多項式操作の基礎となる。
因数定理は剰余の定理の特別な場合であり、両者はセットで高校数学・大学数学の代数分野で学ばれます。また、コンピュータサイエンスにおけるモジュラー演算（合同算術）とは別概念であるため注意が必要です。
剰余の定理は多項式計算の手間を大幅に省き、代数的推論を効率化する実用的な定理です。
使い方・例文
「f(x)＝x³－2x＋1をx－1で割った余りは、f(1)を計算するだけで求められる。剰余の定理の典型的な使い方です。」
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