ロピタルの定理とは？
ろぴたるのていり
「定理」の用語まとめを見るロピタルの定理とは、0/0 型や ∞/∞ 型の不定形の極限を、分子・分母をそれぞれ微分した商の極限に置き換えて求める方法です。
ロピタルの定理（L'Hôpital's rule）は、極限計算において不定形（0/0 や ∞/∞）が生じた場合に、分子と分母を別々に微分した比の極限に帰着させることができる定理です。17〜18世紀のフランスの数学者ギョーム・ド・ロピタルが著書に記したことで広く知られましたが、実際の発見者はヨハン・ベルヌーイであるとも言われています。
定理の内容：関数 f(x)、g(x) が点 a の近傍で微分可能であり、lim f(x) = lim g(x) = 0（または ±∞）、かつ g'(x) ≠ 0 であるとき、lim(x→a) f'(x)/g'(x) が存在するならば、lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x) が成立します。
ロピタルの定理の適用上の注意点を整理すると以下のとおりです。
- 0/0 型か ∞/∞ 型であることを必ず確認してから適用する
- 適用後もまた不定形になる場合は繰り返し適用できる
- 0×∞、1^∞、0⁰、∞−∞ 型は変形して 0/0 か ∞/∞ に帰着させる
- ロピタルの定理が使えない場合（g' が 0 になるなど）もある
高校〜大学初年度の微積分学で最も頻繁に利用される定理のひとつで、sin(x)/x → 1（x→0）の証明や自然対数・指数関数の極限計算などで広く活用されます。
使い方・例文
lim(x→0) sin(x)/x は 0/0 の不定形ですが、ロピタルの定理を適用すると lim(x→0) cos(x)/1 = 1 と求まり、この極限が 1 であることが確かめられます。
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