ラプラスの方程式とは？
らぷらすのほうていしき
ラプラスの方程式とは、スカラー関数のラプラシアン（二階偏微分の和）がゼロになることを表す偏微分方程式で、電場・重力場・流体など多くの物理現象を記述します。
ラプラスの方程式とは、スカラー関数 φ に対して「∇²φ ＝ 0」と表される偏微分方程式です。∇²（ラプラシアン）は、三次元直交座標では x・y・z 各方向の二階偏微分の和を意味します。この方程式はフランスの数学者・物理学者ピエール＝シモン・ラプラスにちなんで命名されました。
ラプラスの方程式を満たす関数は「調和関数」と呼ばれ、空間内のある領域でソース（湧き出し）もシンク（吸い込み）も存在しない場を表します。ポアソン方程式（∇²φ ＝ ρ）においてソース項をゼロにした特殊形がラプラスの方程式です。
この方程式が登場する主な物理分野を以下に示します。
- 静電気学：電荷が存在しない領域の電位分布
- 重力理論：質量が存在しない領域の重力ポテンシャル
- 流体力学：非圧縮性・非回転流体の速度ポテンシャル
- 熱伝導：定常状態（時間変化なし）の温度分布
- 複素関数論：正則関数の実部・虚部が調和関数
境界条件を与えることで一意な解が定まるという性質（最大値原理）があり、数値解法や解析解の研究が豊富に蓄積されています。工学シミュレーションから純粋数学まで幅広く活用される基本方程式のひとつです。
使い方・例文
平行板コンデンサ間の電場を求める際、電荷がない領域での電位 φ がラプラスの方程式 ∇²φ ＝ 0 を満たすことを利用して解析します。
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