ベルトラン・チェビシェフの定理とは？
べるとらんちぇびしぇふのていり
「定理」の用語まとめを見るベルトラン・チェビシェフの定理とは、任意の整数 n が1より大きいとき n と 2n の間に必ず素数が存在することを示す定理です。
ベルトラン・チェビシェフの定理（Bertrand's postulate / Chebyshev's theorem）は、「任意の整数 n > 1 に対して、n < p < 2n を満たす素数 p が少なくとも一つ存在する」という命題です。1845年にフランスの数学者ジョゼフ・ベルトランが予想し、1852年にロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフが厳密に証明しました。
直感的な意味としては、素数の分布が薄くなる大きな数の領域においても、連続する二倍の区間を見ればその中に必ず素数が含まれるという、素数の「密度の下限」を保証する結果です。
この定理の主な意義と関連事項は次のとおりです。
- 素数の無限性を保証するより強い主張になっている
- 1932年にエルデシュが初等的な証明を与えたことで広く知られた
- リーマン予想とは独立して素数分布の局所的な性質を述べている
- コンピュータサイエンスでは素数生成の理論的根拠のひとつ
ベルトラン・チェビシェフの定理は証明が比較的初等的でありながら内容が明快なため、数論の入門的な定理として大学の教科書でもよく取り上げられます。また、この定理を起点としてより精密な素数分布の研究へ発展する道が開かれています。
使い方・例文
たとえば n = 10 とすると 10 から 20 の間に 11・13・17・19 という四つの素数があり、定理が成り立つことを手軽に確認できます。
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