ピックの定理とは？
ぴっくのていり
「定理」の用語まとめを見るピックの定理とは、格子点を頂点とする多角形の面積を、内部の格子点の数と境界上の格子点の数だけから求められるという整数論・幾何学の定理です。
ピックの定理（Pick's theorem）は、1899年にゲオルク・ピックが発表した定理で、座標平面上の格子点（整数座標の点）を頂点とする多角形の面積 S を次の公式で与えます。
S = I + B/2 − 1
ここで、I は多角形の内部にある格子点の個数、B は境界上（辺の上）にある格子点の個数です。
この定理の驚くべき点は、面積を計算するために座標の具体的な値を計算する必要がなく、格子点を数えるだけで済むことです。複雑な形の多角形でも、内部と境界の格子点を数えるだけで正確な面積が得られます。
証明の戦略としては、まず三角形について定理を示し、次に任意の多角形を三角形に分割して帰納的に証明する方法が一般的です。凸多角形に限らず、凹多角形にも適用できますが、自己交差のある多角形には使えません。
ピックの定理は、プログラミングコンテストや数学オリンピックでの問題解法として重宝されます。また離散幾何学・組合せ論の入門的な結果として、整数の幾何学的な側面を示す美しい例の一つとされています。
使い方・例文
方眼紙に描いた多角形について、内部の格子点が5個・境界上が8個ならば、面積は 5 + 8/2 − 1 = 8 と即座に求まります。プログラミング競技でも頻出の計算テクニックです。
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