テイラーの定理とは？
ているのていり
「定理」の用語まとめを見るテイラーの定理とは、十分滑らかな関数をある点の周りで多項式で近似でき、その近似の誤差を明示的に評価できることを述べた解析学の基本定理です。
テイラーの定理（Taylor's theorem）は、ブルック・テイラーにちなんで名付けられた解析学の中心的な結果です。関数 f(x) が十分な回数だけ微分可能であれば、点 a の近傍でその関数を多項式（テイラー多項式）で近似でき、誤差項（剰余項）も具体的な形で表せることを述べています。
テイラー展開の一般式は次のとおりです。f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + … + f^(n)(a)(x−a)^n/n! + Rn(x) ここで Rn(x) は剰余項（ラグランジュ形など複数の形式がある）です。a = 0 の場合は特にマクローリン展開と呼ばれます。
テイラーの定理の主な応用は以下のとおりです。
- e^x・sin x・cos x などの基本関数の無限級数表現
- 数値計算における関数値の近似と誤差評価
- 微分方程式の解の局所的な挙動の解析
- 最適化理論における勾配法・ニュートン法の理論的根拠
機械学習の最適化アルゴリズムでも、目的関数をテイラー展開して二次近似することでニュートン法やその変形が導かれます。現代の工学・物理・情報科学を支える解析的道具として欠かせない定理です。
使い方・例文
電卓やコンピュータが sin(x) や e^x を計算するとき、テイラー展開による多項式近似を利用しています。機械学習のニュートン法も目的関数の二次テイラー近似に基づいています。
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